党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向. 为讴歌中 华民族实现伟大复兴的奋斗历程, 增进高中学生对党的二十大的理解, 某校组织开展党 的二十大知识竞赛活动, 以班级为单位参加比赛, 最终甲、乙两班进行到了最后决赛, 决 赛采取五局三胜制, 约定先胜三局者贏得比赛. 已知每局比赛中必决出胜负, 每一局若 甲班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$, 若乙班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{1}{2}$, 每一局输的一 方在接下来的一局中先答题, 第一局由乙班先答题.
(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;
(2) 若规定每一局比赛中胜者得 2 分, 负者得 0 分, 记 $X$ 为比赛结束时甲班的总得分, 求 随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.
【答案】 【解析】记 $A_i(i=1,2,3,4,5)$ 表示“第 $\mathrm{i}$ 局甲获胜”, (1) 设 $\mathrm{A}$ 表示 “比赛一共进行了四局并且甲班最 终获胜”, 则事件 A 包括三种情况: $\overline{A_1} A_2 A_3 A_4$, $A_1 \overline{A_2} A_3 A_4, A_1 A_2 \overline{A_3} A_4$, 这三种情况互斥, 且 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 相互独立,
$$
\begin{aligned}
& \therefore P(A)=P\left(\overline{A_1} A_2 A_3 A_4+A_1 \overline{A_2} A_3 A_4+A_1 A_2\right. \\
& \left.\cdot \overline{A_3} A_4\right)=P\left(\overline{A_1} A_2 A_3 A_4\right)+P\left(A_1 \overline{A_2} A_3 A_4\right)+ \\
& P\left(A_1 A_2 \overline{A_3} A_4\right)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \\
& \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{4} . \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 4 \text { 分 }
\end{aligned}
$$
(2) 由题意, $X$ 的所有可能取值有 $0,2,4,6$,
$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=P\left(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{18}, \\
& P(X=2)=P\left(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4}+\overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \overline{A_4}+\overline{A_1}\right.
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \left.\cdot \overline{A_2} A_3 \overline{A_4}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \\
& \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{5}{36}, \\
& P(X=4)=P\left(A_1 A_2 \overline{A_3} \overline{A_4} \overline{A_5}+A_1 \overline{A_2} A_3 \overline{A_4} \overline{A_5}\right. \\
& +A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} A_4 \overline{A_5}+\overline{A_1} A_2 A_3 \overline{A_4} \overline{A_5}+\overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \cdot \\
& \left.A_4 \overline{A_5}+\overline{A_1} \overline{A_2} A_3 A_4 \overline{A_5}\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \\
& +\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\
& +\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\
& +\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{13}{72} ; \\
& P(X=6)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X= \\
& 4)=1-\frac{1}{18}-\frac{5}{36}-\frac{13}{72}=\frac{5}{8} ; \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots 10 \text { 分 }
\end{aligned}
$$


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