若关于 $x$ 的不等式 $(\ln x)^2-a x \ln x > 0$ 有且只有一个整数解, 则实数 $a$ 的取值范围为
【答案】 $\left.[ \frac{\ln 2}{2}, \frac{\ln 3}{3}\right)$

【解析】 【解析】令 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$,
当 $x \in(0, \mathrm{e})$ 时, $f^{\prime}(x) > 0, \therefore f(x)$ 单调递增;
当 $x \in(e,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x) < 0, \therefore f(x)$ 单调 递减,
且当 $x \in(0,1)$ 时, $f(x) < 0$, 当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $f(x) > 0$,
方 法 一:原 不 等 式 等 价 于 $\left\{\begin{array}{l}x > 1, \\ \frac{\ln x}{x} > a,\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}0 < x < 1, \\ \frac{\ln x}{x} < a,\end{array}\right.$
$\because$ 有且只有一个整数解, $\therefore f(2) \leqslant a < f(3)$,
即实数 $a$ 的取值范围为 $\left[\frac{\ln 2}{2}, \frac{\ln 3}{3}\right)$.
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