已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|,(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}$, 则 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角大小是
【答案】 $\frac{5}{6} \pi$

【解析】 【解析】方法一: 作向量 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{b}$, 则 $\overrightarrow{O B}=\boldsymbol{a}$ $+\boldsymbol{b}$, 由题意 $O A \perp O B$, 且 $|A B|=2|O B|$,
$\therefore \angle O A B=\frac{\pi}{6}, \therefore \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{5}{6} \pi$.
方法二: 由 $|\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 平方得 $|\boldsymbol{b}|^2=$ $4\left(|\boldsymbol{a}|^2+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2\right), \because(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}, \therefore \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ $=-|\boldsymbol{a}|^2$, 代人 $|\boldsymbol{b}|^2=4\left(|\boldsymbol{a}|^2+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^2\right)$ 得 $|\boldsymbol{b}|=\frac{2 \sqrt{3}}{3}|\boldsymbol{a}|, \therefore \cos \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}|}=$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{5}{6} \pi$.
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