已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, 直线 $l$ 过坐标原点并交椭圆于 $P, Q$ 两点 $(P$ 在第一象
限), 点 $A$ 是 $x$ 轴正半轴上一点, 其横坐标是点 $P$ 横坐标的 2 倍, 直线 $Q A$ 交椭圆于点 $B$, 若直线 $B P$ 椧好是以 $P Q$ 为直径的圆的切线,则椭圆的㐫心率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$