已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$, 直线 $l$ 过坐标原点并交椭圆于 $P, Q$ 两点 $(P$ 在第一象
限), 点 $A$ 是 $x$ 轴正半轴上一点, 其横坐标是点 $P$ 横坐标的 2 倍, 直线 $Q A$ 交椭圆于点 $B$, 若直线 $B P$ 椧好是以 $P Q$ 为直径的圆的切线,则椭圆的㐫心率为
$ \text{A.} $ $\frac{1}{2}$ $ \text{B.} $ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \text{C.} $ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $ \text{D.} $ $\frac{\sqrt{6}}{3}$
【答案】 D

【解析】 【解析】依题意, 设 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(-x_1,-y_1\right)$, $B\left(x_2, y_2\right), A\left(2 x_1, 0\right)$, 直线 $P Q 、 Q B(Q A) 、 B P$ 的 斜京分别为 $k_1, k_2, k_3$, 则 $k_2=\frac{0-\left(-y_1\right)}{2 x_1-\left(-x_1\right)}=\frac{y_1}{3 x_1}$ $=\frac{1}{3} k_1, k_1 k_2=-1, \therefore k_2 k_3=-\frac{1}{3}$,
$\because \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1, \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$, 两式相诚得 $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0$,
$\therefore \frac{\left(y_1+y_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)} \cdot \frac{\left(y_1-y_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)}=-\frac{b^2}{a^2}$, 即 $k_2 k_3=-\frac{b^2}{a^2}$, $\therefore-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{3}, \therefore \frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{3}, \therefore e^z=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{3}$.
$\therefore$ 椭圆的离心京 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 故选 D.
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