如图, 点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, 0), \mathrm{B}(\mathrm{n}, 0)$, 以 $\mathrm{AB}$ 为边长作等边 $\triangle \mathrm{ABC}$ 交 $y$ 轴于 $D$ 点, 且 $m, n$ 满足 $m^2+n^2+2 m-6 n+10=0$.
(1) 求 $m, n$ 的值;
(2) 如图1, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CH} \perp \mathrm{AB}$, 垂足为点 $\mathrm{H}$, 且 $\mathrm{CH}=2$, 当动点 $\mathrm{Q}$ 在线段 $\mathrm{CH}$ 上运动时, 请你求 出 $\mathrm{AQ}+\mathrm{DQ}$ 的最小值;
(3) 如图2, 点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上, 点 $F$ 在线段 $A B$ 的延长线上, 当 $\angle E D F=120^{\circ}$ 时, 请问 $\mathrm{CE}-\mathrm{BF}$ 的值是否发生变化? 若改变, 请说明理由; 若不变, 请求出CE-BF的值.
【答案】 解 :
(1 ) $\because m^2+n^2+2 m-6 n+10=0$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore m^2+2 m+1+n^2-6 n+9=0 \\
& \therefore(m+1)^2+(n-3)^2=0, \\
& \therefore m+1=0, n-3=0, \\
& \therefore m=-1, n=3 ;
\end{aligned}
$$


(2)
$$
\begin{aligned}
\because m=-1, n=3, \\
& \therefore A(-1,0), B(3,0), \\
& \therefore A B=4, \\
& \therefore A H=2, \\
& \therefore O H=1, \\
& \therefore C(1,2 \sqrt{3}),
\end{aligned}
$$
过点 $C$ 作 $C M \perp y$ 轴于点 $M$,


$$
\begin{aligned}
& \because C M=O A=1, \angle C M D=\angle A O D=90^{\circ}, \angle C D M=\angle A D O, \\
& \therefore \triangle C D M \cong \triangle A D O(A A S), \\
& \therefore C D=A D,
\end{aligned}
$$
连接 $B D$ 交 $C H$ 于点 $Q$, 则此时 $A Q+D Q=B Q+D Q=B D$ 最小,
$$
\begin{aligned}
& \because C H=2 \sqrt{3}, \\
& \therefore B D=2 \sqrt{3}, \\
& \therefore A Q+D Q \text { 的最小值为 } 2 \sqrt{3} \text {; }
\end{aligned}
$$


(3) $C E-B F$ 的值不会发生变化.
如图, 过点 $D$ 作 $D M / / B C$ 交 $A B$ 于 $M$. 则 $\triangle A D M$ 是等边三角形.
由 (2) 知 $A B=4$,
$$
\therefore A D=C D=A M=2 \text {, }
$$


$$
\begin{aligned}
& \because \angle E D F=\angle C D M=120^{\circ}, \\
& \therefore \angle E D C=\angle M D F, \\
& \because C D=A D=D M, \angle D C E=\angle D M F=120^{\circ}, \\
& \therefore \triangle D C E \cong \triangle D M F(A S A), \\
& \therefore E C=M F, \\
& \therefore E C-B F=M F-B F=M B=A M=2 .
\end{aligned}
$$


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解答题 来源:2022年江苏省无锡市外国语学校中考二模数学试卷
商店销售一种商品, 经市场调查发现: 在实际销售中, 售价 $x$ 为整数, 且该商品的月销售量 $y$ (件) 是售价 $x$ (元/件) 的一次函数, 其售价 $x$ (元/件)、月销售量 $y$ (件)、月销售利润 $w$ (元) 的部分对应值如表: [img=/uploads/2023-01/fa96e2.jpg][/img] 注: 月销售利润 $=$ 月销售量 $\times($ 售价 $-$ 进价 $)$ (1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式; (2)当该商品的售价是多少元时, 月销售利润最大? 并求出最大利润; (3)现公司决定每销售 1 件商品就捐赠 $m$ 元利润 ( $m \leqslant 6$ ) 给 “精准扶贫” 对象, 要求: 在售价不超过 52 元时, 每天扣除捐赠后的日销售利润随售价 $x$ 的增大而增大, 求 $m$ 的取值范围.