已知 $C H$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $A$, 点 $B$ 是 $\odot O$ 上的两个点, 连接 $O A, O B$, 点 $D$, 点 $E$ 分别是半径 $O A, O B$ 的中点, 连接 $C D, C E, B H$, 且 $\angle A O C=2 \angle C H B$.


(1) 如图 1, 求证: $\angle O D C=\angle O E C$;
(2) 如图 2, 延长 $C E$ 交 $B H$ 于点 $F$, 若 $C D \perp O A$, 求证: $F C=F H$;
(3) 如图 3, 在 (2) 的条件下, 点 $G$ 是 $B H$ 上一点, 连接 $A G, B G, H G, O F$, 若 $A G: B G=5: 3$, $H G=2$, 求 $O F$ 的长.
【答案】 【小问 1 详解】
如图 1.∵点 D,点 E 分别是半径OA OB的中点

$$
\begin{aligned}
& \therefore O D=\frac{1}{2} O A, O E=\frac{1}{2} O B \\
& \because O A=O B, \\
& \therefore O D=O E \\
& \because \angle B O C=2 \angle C H B, \angle A O C=2 \angle C H B \\
& \therefore \angle A O C=\angle B O C \\
& \because O C=O C \\
& \therefore \triangle \mathrm{COD} \cong \triangle \mathrm{COE}, \\
& \therefore \angle C D O=\angle C E O ;
\end{aligned}
$$
【小问 2 详解】
如图 2. $\because C D \perp O A$,
$$
\therefore \angle C D O=90^{\circ}
$$



由 (1) 得 $\angle C E O=\angle C D O=90^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \sin \angle O C E=\frac{O E}{O C}=\frac{1}{2} \\
& \therefore \angle O C E=30^{\circ}, \\
& \therefore \angle C O E=90^{\circ}-\angle O C E=60^{\circ}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because \angle H=\frac{1}{2} \angle B O C=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ} \\
& \therefore \angle H=\angle E C O, \\
& \therefore F C=F H
\end{aligned}
$$
【小问 3 详解】
如图 3. $\because \mathrm{CO}=\mathrm{OH}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore O F \perp C H \\
& \therefore \angle F O H=90^{\circ}
\end{aligned}
$$



连接 $A H . \because \angle A O C=\angle B O C=60^{\circ}$
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A O H=\angle B O H=120^{\circ}, \\
& \therefore A H=B H, \angle A G H=60^{\circ} \\
& \because A G: B G=5: 3 \\
& \text { 设 } A G=5 x, \\
& \therefore B G=3 x
\end{aligned}
$$
在 $A G$ 上取点 $M$, 使得 $A M=B G$, 连接 $M H$
$$
\begin{aligned}
& \because \angle H A M=\angle H B G, \\
& \therefore \triangle H A M \cong \triangle H B G \\
& \therefore M H=G H, \\
& \therefore \triangle M H G \text { 为等边三角形 } \\
& \therefore M G=H G=2 \\
& \because A G=A M+M G, \\
& \therefore 5 x=3 x+2 \\
& \therefore x=1, \\
& \therefore A G=5 \\
& \therefore B G=A M=3,
\end{aligned}
$$

过点 $H$ 作 $H N \perp M G$ 于点 $N$
$$
\begin{aligned}
& M N=\frac{1}{2} G M=\frac{1}{2} \times 2=1, H N=H G \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3} \\
& \therefore A N=M N+A M=4, \\
& \therefore H B=H A=\sqrt{N A^2+H N^2}=\sqrt{19} \\
& \because \angle F O H=90^{\circ}, \angle O H F=30^{\circ}, \\
& \therefore \angle O F H=60^{\circ} \\
& \because O B=O H, \\
& \therefore \angle B H O=\angle O B H=30^{\circ}, \\
& \therefore \angle F O B=\angle O B F=30^{\circ} \\
& \therefore O F=B F, \\
& \text { 在 Rt } \triangle O F H \text { 中, } \angle O H F=30^{\circ}, \\
& \therefore H F=2 O F \\
& \therefore H B=B F+H F=3 O F=\sqrt{19}, \\
& \therefore O F=\frac{\sqrt{19}}{3} .
\end{aligned}
$$


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