已知函数 $f(x)=(x+a) \ln x$ 有两个极值点 $x_1, x_2$ ，且 $0 < x_1 < x_2$ ．
（1）求实数 $a$ 的取值范同；
（2）证明：$\frac{1}{2 x_2}+\frac{1}{x_1}>\frac{3}{2 a}$ ；
（3）证明：$\frac{\ln (n+1)}{3}>\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{3 n+2}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．