如图, 在梯形 $A C D E$ 中, $A E / / C D$, 且平面 $A C D E \perp$ 平面 $A B C, A B=C D=4$, $A E=A C=8, B C=D E=4 \sqrt{3}$.
(1) 若平面 $A B E \cap$ 平面 $B C D=l$, 求证: $l / /$ 平面 $A C D E$;
(2) 求平面 $A B E$ 与平面 $B C D$ 的锐二面角的余弦值.
【答案】 (1) 证明: $A E / / C D, A E \subset$ 平面 $A B E, C D \not \subset$ 平面 $A B E \Rightarrow C D / /$ 平面 $A B E$,

$C D \subset$ 平面 $B C D$, 平面 $A B E \cap$ 平面 $B C D=l \Rightarrow C D / / l$,

$C D \subset$ 平面 $A C D E, l \not \subset$ 平面 $A C D E \Rightarrow l / /$ 平面 $A C D E$.

(2)解:由题意易知: $A B \perp B C, \angle C A E=60^{\circ}$, 如图, 设 $O$ 为 $A C$ 的中点,
则 $O E \perp A C$, 平面 $A C D E \perp$ 平面 $A B C$, 平面 $A C D E \cap$ 平面 $A B C=A C$,
$\Rightarrow O E \perp$ 平面 $A B C$.

以 $B C, B A$ 分别为 $x, y$ 轴建立如图直角坐标系,


则 $A(0,4,0), C(4 \sqrt{3}, 0,0), E(2 \sqrt{3}, 2,4 \sqrt{3})$,
$$
\overrightarrow{C D}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A E}=(\sqrt{3},-1,2 \sqrt{3}) \Rightarrow D(5 \sqrt{3},-1,2 \sqrt{3}) \text {, }
$$
设平面 $B C D$ 的法向量为 $\vec{m}=(x, y, z)$,
则 $\vec{m} \cdot \overrightarrow{B C}=0, \vec{m} \cdot \overrightarrow{B D}=0$,

则 $\vec{m} \cdot \overrightarrow{B C}=0, \vec{m} \cdot \overrightarrow{B D}=0$,
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ 4 \sqrt { 3 } x = 0 } \\
{ 5 \sqrt { 3 } x - y + 2 \sqrt { 3 } z = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=0 \\
y=2 \sqrt{3} z
\end{array} \Rightarrow \bar{m}=(0,2 \sqrt{3}, 1),\right.\right.
$$
设平面 $A B E$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$, 则 $\vec{n} \cdot \overrightarrow{B A}=0, \vec{n} \cdot \overrightarrow{B E}=0$,
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l }
{ 4 y = 0 } \\
{ \sqrt { 3 } x + y + 2 \sqrt { 3 } z = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
y=0 \\
x=-2 z
\end{array} \Rightarrow \vec{n}=(-2,0,1),\right.\right. \\
& \Rightarrow \cos \left\langle\vec{m}, \vec{n} > =\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m} \| \vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{13} \times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{65}}{65},\right.
\end{aligned}
$$
故平面 $A B E$ 与平面 $B C D$ 的锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{65}}{65}$.



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