自 2021 年始, 我市高考综合改革整体实施, 普通高校招生统一考试实施 “3+1+2” 考试, “3” 指全国统 一考试语文、数学、外语 3 科. 其中数学考试中的第 9 题到第 12 题这 4 道选择题为多项选择题, 其评分规 则为选项中有多项符合题目要求, 若全部选对的得 5 分, 若有选错的得 0 分, 若部分选对的得 2 分. 已知 考生甲做多项选择题时, 每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为 $0.3,0.2,0.5$, 且每道题 的作答情况相互独立. 设考生甲做 4 道多项选择题的总得分为随机变量 $X$.
(1) 求 $X=7$ 的概率;
(2) 已知考生甲第 9 题全部选对, 第 10 题部分选对, 求随机变量 $X$ 的分布列与期望.
【答案】 解: (1) $P(X=7)=\mathrm{C}_4^2 \times 0.2^2 \times \mathrm{C}_2^1 \times 0.5 \times 0.3=0.072$.
(2) $X$ 的所有可能取值为 $7,9,11,12,14,17$, 则
$$
\begin{aligned}
& P(X=7)=\mathrm{C}_2^2 \times 0.2^2=0.04, \quad P(X=9)=\mathrm{C}_2^1 \times 0.2 \times 0.5=0.20, \\
& P(X=11)=\mathrm{C}_2^2 \times 0.5^2=0.25, \quad P(X=12)=\mathrm{C}_2^1 \times 0.2 \times 0.3=0.12,
\end{aligned}
$$

$
P(X=14)=\mathrm{C}_2^1 \times 0.5 \times 0.3=0.30, \quad P(X=17)=\mathrm{C}_2^2 \times 0.3^2=0.09$



$
E(X)=0.28+1.8+2.75+1.44+4.20+1.53=12
$


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