两个顶角相等的等腰三角形, 如果具有公共的顶角的顶点, 并把它们 的底角顶点连接起来, 则形成一组全等的三角形, 把具有这个规律的图形称 为 “手拉手” 图形.
(1)问题发现:
如图 15-1, 若 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 是顶角相等的等腰三角形, $B C, D E$ 分别是 底边. 求证: $B D=C E$;


(2)解决问题:
如图 15-2, 若 $\triangle \mathrm{ACB}$ 和 $\triangle \mathrm{DCE}$ 均为等腰直角三角形, $\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DCE}=90^{\circ}$, 点 $A, D, E$ 在同一条直线上, $C M$ 为 $\triangle D C E$ 中 $D E$ 边上的高, 连接 $B E$, 请判断 $\angle \mathrm{AEB}$ 的度数及线段 $\mathrm{CM}, \mathrm{AE}, \mathrm{BE}$ 之间的数量关系并说明理由.
【答案】 (1) 证明: $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{ADE}$ 是顶角相等的等腰三角形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A B=A C, A D=A E, \angle B A C=\angle D A E \\
& \therefore \angle \mathrm{BAC}-\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DAE}-\angle \mathrm{CAD} \text {, } \\
& \therefore \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CA} \text { E } \text {. } \\
& \text { 在 } \triangle B A D \text { 和 } \triangle C A E \text { 中 } \\
& \left\{\begin{aligned}
\mathrm{AB} & =\mathrm{AC} \\
\angle \mathrm{BAD} & =\angle \mathrm{CAE} \\
\mathrm{AD} & =\mathrm{AE}
\end{aligned}\right. \\
& \therefore \triangle B A D \cong \triangle \mathrm{CAE} \text { (SAS), } \\
& \therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CE} \text {. } \\
\end{aligned}
$$


(2) $\angle \mathrm{AEB}=90^{\circ}, \mathrm{AE}=\mathrm{BE}+2 \mathrm{CM}$, ,
理由如下:
由 (1) 的方法得,
$$
\begin{aligned}
& \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BCE}, \\
& \therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BE}, \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{BEC}, \\
& \because \triangle \mathrm{CDE} \text { 是等腰直角三角形, } \\
& \therefore \angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{CED}=45^{\circ}, \\
& \therefore \angle \mathrm{ADC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{CDE}=135^{\circ}, \\
& \therefore \angle \mathrm{BEC}=\angle \mathrm{ADC}=135^{\circ}, \\
& \therefore \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{BEC}-\angle \mathrm{CED}=135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ} . \\
& \because \mathrm{CD}=\mathrm{CE}, \mathrm{CM} \perp \mathrm{DE},
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \mathrm{DM}=\mathrm{ME} . \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \because \angle \mathrm{DCE}=90^{\circ}, \\
& \therefore \mathrm{DM}=\mathrm{ME}=\mathrm{CM}, \quad \therefore \mathrm{DE}=2 \mathrm{CM} . \\
& \therefore \mathrm{AE}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}=\mathrm{BE}+2 \mathrm{CM} .
\end{aligned}
$$


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