随着我国科学技术的不断发展, 科学幻想变为现实.如图 13-1 是我国自 主研发的某型号隐形战斗机模型, 全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一. 图 13-2 是垂尾模型的轴切面, 并通过垂尾模型的外围测得如下数据, $B C=8, C D=2$, $\angle D=135^{\circ}, \angle C=60^{\circ}$, 且 $A B / / C D$, 求出垂尾模型 $A B C D$ 的面积.(结果保留整数, 参考数据: $\sqrt{2} \approx 1.414, \quad \sqrt{3} \approx 1.732)$
【答案】


解: 过 $D$ 作 $D E$ 垂直 $A B$ 的延长线于 $E$, 交 $B C$ 于点 $F$.

$$
\begin{aligned}
& \because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \\
& \therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{CD} \\
& \therefore \angle \mathrm{FEB}=\angle \mathrm{FDC}=90^{\circ}
\end{aligned}
$$
在 Rt $\triangle \mathrm{CDF}$ 中, $\mathrm{CD}=2, \angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle C F D=30^{\circ}, C F=4, \quad D F=2 \sqrt{3} \\
& \because B C=8 \\
& \therefore B F=4 \\
& \therefore B F=C F
\end{aligned}
$$
在 $\triangle F E B$ 和 $\triangle F D C$ 中
$$
\begin{aligned}
\left\{\begin{aligned}
\angle \mathrm{FEB} & =\angle \mathrm{FDC} \\
\angle \mathrm{CFD} & =\angle \mathrm{BFE} \\
\mathrm{BF} & =\mathrm{CF}
\end{aligned}\right. \\
\therefore \triangle \mathrm{FEB} \cong \triangle \mathrm{FDC}(\mathrm{AAS}) .
\end{aligned}
$$


$$
\begin{aligned}
& \therefore \mathrm{BE}=\mathrm{CD}=2, \quad \mathrm{DF}=\mathrm{EF}=2 \sqrt{3} \\
& \because \angle \mathrm{D}=135^{\circ}, \quad \angle \mathrm{FDC}=90^{\circ} \\
& \therefore \angle \mathrm{ADE}=45^{\circ} \\
& \therefore \mathrm{AE}=\mathrm{DE}=4 \sqrt{3} \\
& \therefore \mathrm{S}_{\mathrm{ABCD}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{AED}}=\frac{1}{2} \mathrm{AE} \cdot \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 4 \sqrt{3}=24
\end{aligned}
$$


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解答题 来源:2022年青海省中考数学真题
两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图 形称为“手拉手”图形. (1)问题发现: 如图1,若 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 是顶角相等的等腰三角形, $B C , D E$ 分别是底边.求证: $B D=C E$ ; [img=/uploads/2023/471529.jpg][/img] (2)解决问题: 如图2,若 $\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等腰直角三角形, $\angle A C B=\angle D C E=90^{\circ}$ ,点 $A , D , E$ 在同一条直线上,CM为 $\triangle D C E$ 中 $D E$ 边上的高,连接 $B E$ ,请判断 $\angle A E B$ 的度数及线段 $C M , A E , B E$ 之间的数量关系并说明理由. [img=/uploads/2023/1a15e0.jpg][/img]