如图 1, 抛物线 $y=a x^2+b x$ 经过点 $A(-5,0)$, 点 $B(-1,-2)$.
(1) 求抛物线解析式;
(2) 如图 2, 点 $P$ 为抛物线上第三象限内一动点, 过点 $Q(-4,0)$ 作 $y$ 轴的平行线, 交直线 $A P$ 于点 $M$, 交直线 $O P$ 于点 $N$, 当点 $P$ 运动时, $4 Q M+Q N$ 的值是否变化? 若变化, 说明变化 规律, 若不变, 求其值;
(3) 如图 3, 长度为 $\sqrt{5}$ 的线段 $C D$ (点 $C$ 在点 $D$ 的左边) 在射线 $A B$ 上移动 (点 $C$ 在线段 $A B$ 上), 连接 $O D$, 过点 $C$ 作 $C E / / O D$ 交抛物线于点 $E$, 线段 $C D$ 在移动的过程中, 直线 $C E$ 经过一定点 $F$, 直接写出定点 $F$ 的坐标与 $\frac{F C}{E C}$ 的最小值.

【答案】 解: (1) $\because y=a x^2+b x$ 经过 $A(-5,0), B(-1,-2)$
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
0=(-5)^2 a-5 b \\
-2=(-1)^2 a-b
\end{array} \right.
$$
$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
a=\frac{1}{2} \\
\mathrm{~b}=\frac{5}{2}
\end{array} \ldots \right.
$$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2} x^2+\frac{5}{2} x$


(2) 过 $P$ 作 $P T / / y$ 轴交 $x$ 轴于点 $T$
设 $P\left(t, \frac{1}{2} t^2+\frac{5}{2} t\right)$ 则 $T(t, 0), A T=t+5, T P=-\frac{1}{2} t^2-\frac{5}{2} t, O T=-t$
$$
\because Q(-4,0)
$$
$\therefore A Q=1, O Q=4 $
$\because N Q / / y$ 轴, $ PT // y$ 轴


$\therefore \triangle O T P \subset \triangle \triangle O Q N, \triangle A Q M N \triangle \triangle A T P$
$\therefore \frac{O T}{O Q}=\frac{T P}{Q N}, \frac{A Q}{A T}=\frac{Q M}{T P}$
$\therefore Q N=\frac{T P \cdot O Q}{O T}=\frac{-\frac{1}{2} t^2-\frac{5}{2} t}{-t}=2 t+10$
$Q M=\frac{T P \cdot A Q}{A T}=\frac{-\frac{1}{2} t^2-\frac{5}{2} t}{t+5}=\frac{-t^2-5 t}{2(t+5)}=\frac{4 t}{2} $.

$\therefore 4 Q M+Q N=4 \times \frac{-t}{2}+(2 t+10)=10 $



(3) 定点 $F(-2,1), $ $\frac{F C}{E C}$ 的最小值是 $\frac{5}{4}, $

过 $O$ 作 $O F / / A B$ 交 $C E$ 于点 $F$.
设直线 $A B$ 的解析式为 $y=k x+m, \because$ 直线 $A B$ 经过 $A$

$$
\begin{aligned}
& (-5,0), B(-1,-2) \\
& \therefore\left\{\begin{array} { l }
{ 0 = - 5 k + m } \\
{ - 2 = - k + m }
\end{array} \therefore \left\{\begin{array}{l}
k=-\frac{1}{2} \\
m=-\frac{5}{2}
\end{array}\right.\right.
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 直线 $A B$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}$
$\because O F / / A B$, 且过 $O(0,0)$




$\therefore$ 直线 $O F$ 的解析式为 $y=-\frac{1}{2} x$
$\therefore$ 设 $F\left(n,-\frac{1}{2} n\right)$
$\because C E \| / O D$
$\therefore$ 四边形 $C D O F$ 是平行四边形.
$$
\begin{aligned}
& \therefore O F=C D=\sqrt{5} \\
& \therefore n^2+\left(-\frac{1}{2} n\right)^2=(\sqrt{5})^2 \quad \therefore n=\pm 2 \\
& \because n > 0 \\
& \therefore n=-2
\end{aligned}
$$
$\therefore F(-2,1)$ 为直线 $\mathrm{CE}$ 经过的定点.
过 $F$ 作 $F G \perp x$ 轴, 交 $A B$ 于点 $G$, 过 $E$ 作 $E H \perp x$ 轴, 交 $A B$ 于点 $H$.
则 $G$ 的横坐标为 $-2$
$\because G$ 在直线 $A B$ 上

$$
\begin{aligned}
& \therefore G\left(-2,-\frac{3}{2}\right) \\
& \therefore F G=1-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}
\end{aligned}
$$
设 $E\left(\mathrm{t}, \frac{1}{2} t^2+\frac{5}{2} t\right)$ 则 $H\left(t,-\frac{1}{2} t-\frac{5}{2}\right)$
$$
\therefore E H=\left(-\frac{1}{2} t-\frac{5}{2}\right)-\left(\frac{1}{2} t^2+\frac{5}{2} t\right)=-\frac{1}{2} t^2-3 t-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(t+3)^2+2
$$
$\because E H \perp x$ 轴, $F G \perp x$ 轴
$\therefore \triangle E H C \cos \triangle F G C$
$$
\therefore \frac{F C}{E C}=\frac{F G}{E H}
$$
又 $\because \mathrm{FG}=\frac{5}{2} \therefore$ 当 $E H$ 取最大值时, $\frac{F C}{E C}=\frac{F G}{E H}$ 的值最小
$\therefore$ 当 $n=-3$ 时, $E H$ 最大值是 2 . 此时 $\frac{F G}{E H}=\frac{5}{4}$
$\therefore \frac{F C}{E C}$ 的最小值是 $\frac{5}{4}$.


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