(1) 问题背景: 如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $A B$ 上一点, 若 $\angle A C D=\angle B$. 求证: $A C^2=A D \cdot A B$;
(2) 尝试应用: 如图 2, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=9, A C=6, D$ 为 $A B$ 上一点, 点 $E$ 为 $C D$ 上一 点, 且 $\frac{D E}{E C}=\frac{1}{2}, \angle A C D=\angle A B E$, 求 $B D$ 的长;
(3) 拓展创新: 如图 3, $\square A B C D$ 中, $E$ 是 $A B$ 上一点, 且 $\frac{A E}{B E}=\frac{1}{2}, E F / / A C$, 连接 $D E$, $D F$, 若 $\angle E D F=\angle B A C, D F=5 \sqrt{6}$, 直接写出 $A B$ 的长.
【答案】 (1) 证明: $\because \angle A C D=\angle B, \angle A=\angle A$
$$
\begin{aligned}
& \therefore \triangle A B C \backsim \triangle A C D \\
& \therefore \frac{A B}{A C}=\frac{A C}{A D} \\
& \therefore A C^2=A D \cdot A B
\end{aligned}
$$
(2) 解: 过点 $E$ 作 $E F / / A C$ 分别交 $A B$ 于点 $F$.
$$
\begin{aligned}
& \therefore \triangle D F E \sim \triangle D A C \\
& \because \frac{D E}{C E}=\frac{1}{2} \\
& \therefore \frac{E F}{C A}=\frac{D F}{D A}=\frac{D E}{D C}=\frac{1}{3} \\
& \therefore E F=\frac{1}{3} A C=2
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 设 $D F=x$, 则 $F A=2 x, F B=9-2 x $
$$
\begin{aligned}
& \because M N / / A C \\
& \therefore \angle A C D=\angle F E D \\
& \text { 又 } \because \angle A C D=\angle A B E
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle F E D=\angle F B E \\
& \therefore \triangle F E B \subset \triangle F D E \\
& \therefore E F^2=F D \cdot F B \quad \therefore 2^2=x(9-2 x) \cdot \\
& \therefore x_1=4, x_2=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
①当 $x=4$ 时, $B D=9-3 x=-3$ (舍去)
②当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $B D=9-3 x=\frac{15}{2}$
$\therefore B D$ 的长为 $\frac{15}{2} $



(3)



解: 延长 $E F$ 交 $D C$ 的延长线于 $N$. 则 $\square A E N C, \triangle B E F \backsim \triangle C N F$
$$
\begin{aligned}
& \therefore A E=C N, \angle N=\angle B A C \\
& \because \frac{A E}{B E}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 设 $A E=C N=x$, 则 $B E=2 x, C D=3 x, D N=4 x$.
设 $E F=2 y$, 则 $N F=y, E N=3 y$
$$
\begin{aligned}
& \because \angle E D F=\angle B A C \\
& \therefore \angle E D F=\angle N \\
& \because \triangle D E F \backsim \triangle N E D \cdot 2=2 y=3 \mathrm{y} \cdot 2 \mathrm{y}=6 y^2 \\
& \therefore E D^2=E N \cdot E F=\sqrt{6} y
\end{aligned}
$$


$$
\begin{aligned}
& \therefore E D=\sqrt{6} y \\
& \therefore \frac{D E}{N E}=\frac{D F}{N D} \text { 即 } \frac{\sqrt{6} y}{3 y}=\frac{5 \sqrt{6}}{4 x} \\
& \therefore x=\frac{15}{4} \\
& \therefore A B=3 x=\frac{45}{4} .
\end{aligned}
$$


系统推荐