如图，在平面直角坐标系中，点 $Q$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $R$ 在 $x$ 轴正半轴上，以 $O R$ 为边向上作等边 $\triangle O R S, O S$ 交 $R Q$ 于点 $T$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象交 $R Q$ 于点 $T, U$ ．若 $T U : R Q=1: 3, \triangle O Q T$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．
（1）$k$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；
（2）$\triangle O S R$ 的面积为 $\_\_\_\_$ ．