在正方体 $\mathrm{ABCDA}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$ 中，点 P 为线段 $\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$ 上的动点，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}_1=0$
$\text{B.}$ 平面 $\mathrm{DD}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{C}$ 与平面 $\mathrm{A}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{P}$ 所成角的正弦值是 $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 当 $\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{P}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{~A}_1 \mathrm{C}}$ 时， $\overrightarrow{\mathrm{D}_1 \mathrm{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$ 的值最小
$\text{D.}$ 若平面 ABCD 上的动点 M 满足 $\angle \mathrm{MD}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{6}$ ，则点 M 的轨迹是椭圆
$\text{E.}$
$\text{F.}$