题号:3296    题型:解答题    来源:2022年初三数学中考模拟试卷 入库日期 2022/12/2 22:12:11
如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \odot \bigcirc$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 过 $C$ 作 $C D / / A B, C D$ 交 $\odot \bigcirc$ 于 $D$, 连接 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$, 延长 $D C$ 至点 $F$, 使 $C F=A C$, 连接 $A F$.
(1)求证: $A F$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2)求证: $A B^2-B E^2=B E \cdot E C$;
(3) 如图 2, 若点 $G$ 是 $\triangle A C D$ 的内心, $B C \cdot B E=64$, 求 $B G$ 的长.
【答案】 (1)证明 连接$OA$
$$
\begin{aligned}
& \because A C=A B \quad \therefore \widehat{AC}=\widehat{A B} \\
& \therefore O A \perp B C \\
& \because A C=A F \\
& \therefore \angle A C D=\angle C A F+\angle F=2 \angle F \\
& \because A C=A B \\
& \therefore \angle A C B=\angle D \\
& \because C D \| A B \\
& \therefore \angle A B C=\angle B C D \quad \because \angle B=\angle D \\
& \therefore \angle A C B=\angle B C D \\
& \therefore \angle A C D=2 \angle B C D \\
& \therefore \angle B C D=\angle F \\
& \therefore C B \| A F \\
& \therefore O A \perp A F \\
& \because \text { A在圆O上} \\
& \therefore \text { AF是其切线} \\
\end{aligned}
$$

(2)
$$
\begin{aligned}
& \angle B A D=\angle B C D=\angle A C B \\
& \angle B=\angle B \\
\therefore & \triangle A B E \backsim \triangle C B A
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore \frac{A B}{B C}=\frac{B E}{A B} & \Rightarrow A B^2=B C \cdot B E=B E(B E+C E) \\
& =B E^2+B E \cdot C E \\
\therefore A B^2-B E^2 & =B E \cdot E C
\end{aligned}
$$

(3) 由(2)知AB=8

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle B A G=\angle B A D+D A G \\
& \angle B G A=\angle G A C+\angle A C B \\
& \because G \text { 为内心 } \\
& \therefore \angle D A G=\angle G A C \\
& \text { 又 } \because \angle B A D+\angle D A G=\angle G A C+\angle A C B \\
& \angle B A D=\angle A C B \\
& \therefore \angle B A G=\angle B G A \\
& \therefore B G=A B=8
\end{aligned}
$$


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