题号:3290    题型:填空题    来源:2022年初三数学中考模拟试卷 入库日期 2022/12/2 21:53:09
已知, 如图在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=30^{\circ}, B C=5, A C=6$, 在 $\triangle A B C$ 内部有一点 $D$, 连接 $D A 、 D B 、 D C$, 则 $D A+D B+\sqrt{2} D C$ 的最小值 是
【答案】 $ \sqrt{91}$

【解析】

如图 过C点做CE垂直CE,则三角形ECD为等腰直角三角形,所以$\sqrt{2}DC=DE$
把三角形CDA绕点C逆时针选择90度至三角形CEF,则

$A D=E F$.
$\therefore D A+D B+\sqrt{2} C D=E F+B D+E D$

连接BF,则BF为最小值,做FH垂直BC
$$
\begin{aligned}
& \angle F C H=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} \\
& \angle C F H=30^{\circ} \quad \angle F=A C=6 \\
& \therefore H C=3 \quad \therefore B H=5+3=8 \quad F H=\sqrt{3} C H=3 \sqrt{3} \\
& \therefore B F=\sqrt{F H^2+B H^2}=\sqrt{27+64}=\sqrt{91}
\end{aligned}
$$
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解答题 来源:2022年河南省中考数学真题
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