人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的 0.618 就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}, b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}, S_2=\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}, \ldots \ldots$ ， $S_{20}=\frac{20}{1+a^{20}}+\frac{20}{1+b^{20}}$ ，则 $S_1+S_2+\cdots+S_{20}$ 的值为