设函数 $y=\frac{3 x+2}{2 x^2+x-3}$ ,求 $y^{(n)}(0)$.
【答案】 【参考解答】: 分解部分分式,有
$$
\begin{gathered}
y=\frac{3 x+2}{2 x^2+x-3}=\frac{1}{2 x+3}+\frac{1}{x-1} . \\
\left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=(-1)^n \frac{n !}{(a+x)^{n+1}} . \\
\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n \frac{a^n n !}{(a x+b)^{n+1}}(n=1,2,3, \cdots)
\end{gathered}
$$
可得 $y^{(n)}(x)=(-1)^n\left[\frac{n !}{(x-1)^{n+1}}+\frac{2^n n !}{(2 x+3)^{n+1}}\right]$, 故得
$$
y^{(n)}(0)=(-1)^n \frac{2^n n !}{3^{n+1}}-n !
$$


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