如图，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ ．过点 $T(1,0)$ 作斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的下方）．若 $\overrightarrow{A T}=2 \overrightarrow{T B}$ ，求直线 $l$ 的斜率 $k$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$