如图 1, 四边形 $A B C D$ 内接于以 $B D$ 为直径的 $\odot O, E$ 为 $\widehat{\mathrm{AD}}$ 上一点, 且 $\widehat{A E}=\widehat{\mathrm{CD}}$, 连结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点 $F, B E$ 与 $A D$ 交于点 $G$, 连接 $C E$.
(1) 求证: $A G \cdot B D=C D \cdot B G$;
(2) 若 $E F=\mathrm{D} G$. 求证: $A D=B G$.
(3) 如图 2, 在 (2) 的条件下, 连结 $C G, A D=4$, 求 $C G$ 的最小值.