题号:2867    题型:解答题    来源:2022年福建中考数学真题
在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知抛物线 $y=a x^2+b x$ 经过 $A(4,0)$, $B(1,4)$ 两点. $P$ 是拋物线上 点.且在直线 $A B$ 的上方.
(1) 求拋物线的解析式;
(2) 若 $\triangle O A B$ 面积是 $\triangle P A B$ 面积的 2 倍, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 如图, $O P$ 交 $A B$ 于点 $C, P D / / B O$ 交 $A B$ 于点 $D$. 记 $\triangle C D P$, $\triangle C P B, \triangle C B O$ 的面积分别为 $S_1, S_2, S_3$. 判断 $\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_3}$ 是否存在最大 值. 若存在,求莡最大值; 若不存在, 请说明理由.
0 条评论 分享 0 人推荐 收藏 ​ ​ 11 次查看 我来讲解
答案:
解: (1) 将 $A(4,0), B(1,4)$ 代人 $y=a x^2+b x$,
得 $\left\{\begin{array}{l}16 a+4 b=0 \text {, } \\ a+b=4 \text {, }\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{3}, \\ b=\frac{16}{3} .\end{array}\right.$
所以抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{3} x^2+\frac{16}{3} x$.

(2) 设直线 $A B$ 的解析式为 $y=k x+t(k \neq 0)$,
将 $A(4,0), B(1,4)$ 代人 $y=k x+t$,
得 $\left\{\begin{array}{l}4 k+t=0, \\ k+t=4,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}, \\ t=\frac{16}{3} .\end{array}\right.$
所以直线 $A B$ 的解析式为 $y=-\frac{4}{3} x+\frac{16}{3}$.

过点 $P$ 作 $P M \perp x$ 轴, 垂足为 $M, P M$ 交 $A B$ 于点 $N$.
过点 $B$ 作 $B E \perp P M$, 垂足为 $E$.
所以 $S_{\triangle P A B}=S_{\triangle P N B}+S_{\triangle P N A}$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2} P N \times B E+\frac{1}{2} P N \times A M \\
&=\frac{1}{2} P N \times(B E+A M) \\
\ \% &=\frac{3}{2} P N .
\end{aligned}
$$
因为 $A(4,0), B(1,4)$, 所以 $S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$.

因为 $\triangle O A B$ 的面积是 $\triangle P A B$ 面积的 2 倍,
所以 $2 \times \frac{3}{2} P N=8, P N=\frac{8}{3}$.
设 $P\left(m,-\frac{4}{3} m^2+\frac{16}{3} m\right)(1 < m < 4)$, 则 $N\left(m,-\frac{4}{3} m+\frac{16}{3}\right)$.
所以 $P N=\left(-\frac{4}{3} m^2+\frac{16}{3} m\right)-\left(-\frac{4}{3} m+\frac{16}{3}\right)=\frac{8}{3}$,
即 $-\frac{4}{3} m^2+\frac{20}{3} m-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$,
解得 $m_1=2, m_2=3$.
所以点 $P$ 的坐标为 $\left(2, \frac{16}{3}\right)$ 或 $(3,4)$.


关闭