$A.$ 1 $B.$ 2 $C.$ 3 $D.$ 4

C

#### 解析：

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)\right] \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[F_1^{\prime}(x) F_2(x)+F_1(x) F_2^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x \\ &=\left.F_1(x) F_2(x)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=1, \end{aligned}

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x)\right] \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) F_1(x) \mathrm{d} x+\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) F_2(x) \mathrm{d} x \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} F_1(x) \mathrm{d}\left[F_1(x)\right]+\int_{-\infty}^{+\infty} F_2(x) \mathrm{d}\left[F_2(x)\right] \\ &=\left.\frac{1}{2}\left[F_1^2(x)+F_2^2(x)\right]\right|_{-\infty} ^{+\infty}=1, \end{aligned}

$g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$ 不一定可以作为概率密度. 如
$$f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, } \end{array} f_2(x)= \begin{cases}4 x^3, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}\right.$$

$$\sqrt{f_1(x) f_2(x)}= \begin{cases}2 \sqrt{2} x^2, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{f_1(x) f_2(x)} \mathrm{d} x=\int_0^1 2 \sqrt{2} x^2 \mathrm{~d} x=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \neq 1 .$$