题号:2784    题型:单选题    来源:2023年张宇老师考研数学冲刺卷试模拟考试(数学三卷)
设连续型随机变量 $X_1, X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x), f_2(x)$, 其分布函数分别为 $F_1(x), F_2(x)$, 记 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x), g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x), g_3(x)=$ $\frac{1}{2}\left[f_1(x)+f_2(x)\right], g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$, 则 $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定 能作为概率密度的共有
$A.$ 1 $B.$ 2 $C.$ 3 $D.$ 4
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答案:
C

解析:

显然, 4 个函数均是非负的, 故只需考虑其是否具有概率密度的性质.
由于
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)\right] \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[F_1^{\prime}(x) F_2(x)+F_1(x) F_2^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x \\
&=\left.F_1(x) F_2(x)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=1,
\end{aligned}
$$
因此 $g_1(x)=f_1(x) F_2(x)+f_2(x) F_1(x)$ 可以作为概率密度.
由于
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x)\right] \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) F_1(x) \mathrm{d} x+\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) F_2(x) \mathrm{d} x \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty} F_1(x) \mathrm{d}\left[F_1(x)\right]+\int_{-\infty}^{+\infty} F_2(x) \mathrm{d}\left[F_2(x)\right] \\
&=\left.\frac{1}{2}\left[F_1^2(x)+F_2^2(x)\right]\right|_{-\infty} ^{+\infty}=1,
\end{aligned}
$$
因此 $g_2(x)=f_1(x) F_1(x)+f_2(x) F_2(x)$ 可以作为概率密度.
由于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2}\left[f_1(x)+f_2(x)\right] \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, 因此 $g_3(x)=$ $\frac{1}{2}\left[f_1(x)+f_2(x)\right]$ 可以作为概率密度.

$g_4(x)=\sqrt{f_1(x) f_2(x)}$ 不一定可以作为概率密度. 如
$$
f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 x, & 0 < x < 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} f_2(x)= \begin{cases}4 x^3, & 0 < x < 1, \\
0, & \text { 其他 }\end{cases}\right.
$$
都是概率密度, 但是
$$ \sqrt{f_1(x) f_2(x)}= \begin{cases}2 \sqrt{2} x^2, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
不是概率密度,因为
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{f_1(x) f_2(x)} \mathrm{d} x=\int_0^1 2 \sqrt{2} x^2 \mathrm{~d} x=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \neq 1 .
$$

综上所述, $g_1(x), g_2(x), g_3(x), g_4(x)$ 这 4 个函数中一定能作为概率密度的共有 3 个. 应选 C.

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