题号:2776    题型:解答题    来源:湖北省十堰市丹江口市思源实验学校 2022一2023学年上学期
已知, 如图, 抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$, 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点,
点 $A$ 在点 $B$ 左侧. 点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(-1,0), O C=3 O A$
(1)求抛物线的解析式:
(2)若点 $D$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的动点, 求四边形 $A B D C$ 面积的最大值:
(3)若抛物线上有一点 $M$, 使 $\angle A C M=45^{\circ}$, 求 $M$ 点坐标.
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答案:
(1) 根据 $O C=3 O A, A(-1,0)$, 求出 $C$ 点坐标 $(0,-3)$, 把点 $A, C$ 的坐标代入 $y=a x^2-2 a x+c$, 求出 $a$ 与 $c$ 的值, 即可求出函数解析式;
(2) 先求出直线 $B C$ 的函数关系式, 如图 1, 过点 $D$ 作 $D M / / y$ 轴分别交线段 $A C$ 和 $x$ 轴于 点 $M, N$. 设 $M(m, m-3)$ 则 $D\left(m, m^2-2 m-3\right)$, 然后表示出 $D M$ 的长, 然后根据 $S_{A B D C}=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle B C D}$, 转化为二次函数求最值;
(3) 过 $A$ 作 $A K \perp A C$ 交 $C M$ 于点 $K$, 作 $K H \perp x$ 轴于点 $H$, 证明 $\triangle O A C \cong \triangle H K A$, 可得 $K(2$,
1), 用待定系数法求出直线 $C M$ 的解析式, 与抛物线联立解交点即可得出 $M$ 的坐标; .
(1)
$$
\begin{aligned}
&\because O C=3 O A, A(-1,0), \\
&\therefore C(0,-3) .
\end{aligned}
$$
把点 $A, C$ 的坐标代入 $y=a x^2-2 a x+c$ 得
$$
\left\{\begin{array}{l}
a+2 a+c=0 \\
c=-3
\end{array}\right.
$$
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ c=-3\end{array}\right.$
$\therefore$ 抛物线的解析式 $y=x^2-2 x-3$ ;
(2)
令 $y=0$, 则 $x^2-2 x-3=0$, 解得: $x_1=3, x_2=-1$,
$\therefore B(3,0)$,
设直线 $B C$ 的解析式为 $y=p x+q$,
由 $B(3,0), C(0,-3)$ 在直线 $B C$ 上得:
$\left\{\begin{array}{l}3 p+q=0 \\ q=-3\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}p=1 \\ q=-3\end{array}\right.$
得直线 $B C$ 的解析式为 $y=x-3$,
如图 1 , 过点 $D$ 作 $D M / / y$ 轴分别交线段 $B C$ 和 $x$ 轴于点 $M, N$.


设 $M(m, m-3)$, 则 $D\left(m, m^2-2 m-3\right)$,
$$
D M=m-3-\left(m^2-2 m-3\right)=-m^2+3 m=-\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4},
$$
$\therefore-1 < 0$,
$\therefore$ 当 $x=\frac{3}{2}$ 时, $D M$ 有最大值 $\frac{9}{4}$,
$$
\therefore S_{A B D C}=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle B C D}=\frac{1}{2} \times 4 \times 3+\frac{1}{2} \times 3 \times D M \text {, }
$$
此时四边形 $A B D C$ 面积有最大值为 $6+\frac{3}{2} \times \frac{9}{4}=\frac{75}{8}$;

(3)
如图 2, 过 $A$ 作 $A K \perp A C$ 交 $C M$ 于点 $K$, 作 $K H \perp x$ 升于点 $H$,

\begin{aligned}
&\because \angle A C M=45^{\circ}, \\
&\therefore A C=A K, \\
&\because \angle A O C=\angle K H A=90^{\circ}, \angle A C O=90^{\circ}-\angle O A C=\angle K A H, \\
&\therefore \triangle O A C \cong \triangle H K A(\mathrm{AAS}), \\
&\therefore A H=C O=3, K H=O A=1, \\
&\therefore K(2,1),
\end{aligned}

设直线 $C M$ 的解析式为 $y=k x-3$
$\therefore 2 k-3=1$,
$\therefore k=2$,
$\therefore$ 直线 $C M$ 的解析式为 $y=2 x-3$,
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^2-2 x-3 \\ y=2 x-3\end{array}\right.$,
解得 $x=0$ (舍去), 或 $x=4$,
$$
\therefore M(4,5)
$$
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