题号:2661    题型:填空题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p > 0)$, 点 $A(4,-1), P$ 为抛物线上的动点, 直线 $l$ 为抛物线的 准线, 点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d,|P A|+d$ 的最小值为 5 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 直线 $y=k x+1$ 与拋物线相交于 $M, N$ 两点, 与 $y$ 轴相交于 $Q$ 点, 当直线 $A M, A N$ 的斜率存在, 设直线 $A M, A N, A Q$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3$ 是否存在实数 $\lambda$, 使得 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{\lambda}{k_3}$, 若存在, 求出 $\lambda$; 若不存在, 说明理由.
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答案:
(1)设抛物线 $C$ 的焦点为 $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$, 根据抛物线的定义 $d=|P F|$, $|P A|+d=|P A|+|P F| \geq|A F|=\sqrt{4^2+\left(-1-\frac{p}{2}\right)^2}=5$, 由于 $p > 0$, 解得 $p=4$,
(2) 设 $M\left(x_1, y_1\right), N\left(x_2, y_2\right)$, 将 $y=k x+1$ 代入拋物线 $C$ 的方程,
整理得 $x^2-8 k x-8=0, x_1+x_2=8 k, x_1 \cdot x_2=-8$,
$\frac{1}{k_1}=\frac{x_1-4}{y_1+1}=\frac{x_1-4}{k x_1+2}$, 同理 $\frac{1}{k_2}=\frac{x_2-4}{k x_2+2}$,
(8 分)
则 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{x_1-4}{k x_1+2}+\frac{x_2-4}{k x_2+2}=\frac{2 k x_1 x_2+(2-4 k)\left(x_1+x_2\right)-16}{k^2 x_1 x_2+2 k\left(x_1+x_2\right)+4}=\frac{-32 k^2-16}{8 k^2+4}=-4, \frac{1}{k_3}=\frac{0-4}{2}=-2$,
所以 $\lambda=2$.
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