题号:2660    题型:填空题    来源:河北省 2023 届高三学生全过程纵向评价 (一)
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=2$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_n=f(0)+f\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1)$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=\frac{2}{3}, b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}(n \geq 2)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $S_n < \lambda a_{n+1}$ 对一切 $n \in N^*$ 恒成立, 求实数 $\lambda$ 的取值范围.
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答案:
(1) $a_n=f(0)+f\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1)(1),
a_n=f(1)+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{1}{n}\right)+f(0)(2)$

(1)+(2)得 $2 a_n=2(n+1)$, 即 $a_n=n+1$.

(2) 当 $n=1$ 时, $S_1=b_1=\frac{2}{3} < 3 \lambda, \therefore \lambda > \frac{2}{9}$

当 $n \geq 2$ 时, $b_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$,
$$
S_n=b_1+b_2+\cdots+b_n=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=1-\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2},
$$
要满足 $S_n < \lambda a_{n+1}$, 则 $\frac{n+1}{n+2} < \lambda(n+2)$, 即 $\lambda > \frac{n+1}{(n+2)^2}=\frac{1}{n+1+\frac{1}{n+1}+2}$, $\because y=x+\frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增, $n+1 \geq 3$, 且 $n+1 \in N^*$,
$\therefore$ 当 $n+1=3$ 时, $n+1+\frac{1}{n+1}+2$ 取最小值 $\frac{3}{16}, \therefore \frac{1}{n+1+\frac{1}{n+1}+2} \leq \frac{3}{16}$, $\therefore \lambda > \frac{3}{16}, \because \frac{3}{16} < \frac{2}{9}, \therefore \lambda > \frac{2}{9}$.
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