已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(1-x)=2$, 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_n=f(0)+f\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1)$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=\frac{2}{3}, b_n=\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}(n \geq 2)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $S_n < \lambda a_{n+1}$ 对一切 $n \in N^*$ 恒成立, 求实数 $\lambda$ 的取值范围.