题号:2523    题型:解答题    来源:黄冈市2022年高三年级9月调研考试
如图, 我市某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 $A B C D$ 的池底水平铺设 污水净化管道(Rt $\triangle F H E$ 三条边, $H$ 是直角顶点) 来处理污水, 管道越长, 污水净化效果越 好. 要求管道的接口 $H$ 是 $A B$ 的中点, 点 $E, F$ 分别落在线段 $B C, A D$ 上, 已知 $A B=20 \mathrm{~m}$, $A D=10 \sqrt{3} \mathrm{~m}$, 记 $\angle B H E=\theta$.
(1) 试将污水净化管道的总长度 $L$ (即 Rt $\triangle F H E$ 的周长) 表示为 $\theta$ 的函数,并求出定义域;
(2) 问 $\theta$ 取何值时, 污水净化效果最好? 并求出此时管道 的总长度.

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答案:
(1)由题意可得 $E H=\frac{10}{\cos \theta}, F H=\frac{10}{\sin \theta}, E F=\frac{10}{\sin \theta \cos \theta}$, 由于 $B E=10 \tan \theta \leq 10 \sqrt{3}$, $A F=\frac{10}{\tan \theta} \leq 10 \sqrt{3}$
所以 $\frac{\sqrt{3}}{3} \leq \tan \theta \leq \sqrt{3}, \theta \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$,
$$
\therefore \mathrm{L}=\frac{10}{\cos \theta}+\frac{10}{\sin \theta}+\frac{10}{\sin \theta \cos \theta}, \quad \theta \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]
$$
即 $L=10 \times \frac{\sin \theta+\cos \theta+1}{\sin \theta \cdot \cos \theta}, \theta \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$.


(2) 设 $\sin \theta+\cos \theta=\mathrm{t}$, 则 $\sin \theta \cos \theta=\frac{\mathrm{t}^2-1}{2}$, 由于 $\theta \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$,

$$
\therefore \sin \theta+\cos \theta=\mathrm{t}=\sqrt{2} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \in\left[\frac{\sqrt{3}+1}{2}, \sqrt{2}\right] \text {. }
$$
由于 $\mathrm{L}=\frac{20}{\mathrm{t}-1}$ 在 $\left[\frac{\sqrt{3}+1}{2}, \sqrt{2}\right]$ 上是单调减函数,
$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ 时, 即 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 时, $\mathrm{L}$ 取得最大值为 $20(\sqrt{3}+1) \mathrm{m}$.
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