已知集合 $A=\left\{\alpha \mid \alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right), x_i \in N , i=1,2,3,4\right\}$ ．对集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=\left(x_1, x_2, x_3\right.$ ， $\left.x_4\right)$ ，定义 $T(\alpha)=\left(\left|x_1-x_2\right|,\left|x_2-x_3\right|,\left|x_3-x_4\right|,\left|x_4-x_1\right|\right)$ ，当正整数 $n \geqslant 2$ 时，定义 $T^n(\alpha)=T\left(T^n\right.$ $\left.{ }^{-1}(\alpha)\right)\left(\right.$ 约定 $\left.T^1(\alpha)=T(\alpha)\right)$ ．
（I ）若 $\alpha=(2,0,2,1), \beta=(2,0,2,2)$ ，求 $T^4(\alpha)$ 和 $T^4(\beta)$ ；
（II）若 $\alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)$ 满足 $x_i \in\{0,1\}(i=1,2,3,4)$ 且 $T^2(\alpha)=(1,1,1,1)$ ，求 $\alpha$ 的所有可能结果；
（III）是否存在正整数 $n$ 使得对任意 $\alpha=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) \in A\left(x_1 \geqslant x_2 \geqslant x_4 \geqslant x_3\right)$ 都有 $T^n(\alpha)=(0,0$ ， $0,0)$ ？若存在，求出 $n$ 的所有取值；若不存在，说明理由．