已知函数 $f(x)=a e ^{-x}+\cos x(a \in R )$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a=-1$ 时，$x_0$ 为 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上的零点，求证：$\frac{\pi}{2} < x_0+\frac{1}{ e ^{x_0}\left(\sin x_0-\cos x_0\right)}$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$