已知函数 $f(x)=a x-\frac{a}{x}-\ln x(a>0)$
（1）已知 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）已知 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围．
（3）已知 $g(x)=f(x)+\frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，求实数 $a$ 的取值范围并证明 $x_1 x_2> e ^2$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$