已知 $f(x)=x \ln x, g(x)=-x^2+a x-3$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对一切 $x \in(0,+\infty), 2 f(x) \geq g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）证明：对一切 $x \in(0,+\infty)$ ，都有 $\ln x>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{e x}$ 成立．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$