题号:2417    题型:解答题    来源:2022年玉林市中考数学真题
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=8, A D=4$, 点 $E$ 是 $D C$ 边上的任一点 (不包括端点 $D, C$ ), 过点 $A$ 作 $A F \perp A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $F$, 设 $D E=a$.

(1) 求 $B F$ 的长 (用含 $a$ 的代数式表示);
(2) 连接 $E F$ 交 $A B$ 于点 $G$, 连接 $G C$, 当 $G C / / A E$ 时, 求证: 四边形 $A G C E$ 是菱形.
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答案:
【小问 1 详解】
解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle B A D=\angle A B C=\angle D=90^{\circ}, \\
&\because A F \perp A E,
\end{aligned}
$$

\begin{aligned}
&\therefore \angle F A B+\angle B A E=\angle B A E+\angle E A D=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle F A B=\angle E A D, \\
&\because \angle A B F=\angle D=90^{\circ}, \\
&\therefore \triangle A D E \sim \triangle A B F, \\
&\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B F}, \\
&\because A B=8, A D=4, D E=a \\
&\therefore B F=\frac{D E \cdot A B}{A D}=2 a
\end{aligned}

【小问 2 详解】
证明: 由题意可得如图所示:



连接 $A C$,
在矩形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A D=B C=4, A B=C D=8, \angle A B C=90^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle A B C=\angle F B G=90^{\circ}, \\
&\because G C / / A E,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 四边形 $A G C E$ 是平行四边形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore A G=C E, \\
&\therefore B G=D E=a, \\
&\because B F=2 a,
\end{aligned}
$$
$\therefore \frac{G B}{B F}=\frac{a}{2 a}=\frac{1}{2}$,
$$
\because \frac{B C}{A B}=\frac{1}{2} \text {, }
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore \frac{B C}{A B}=\frac{B G}{B F}=\frac{1}{2}, \\
&\because \angle A B C=\angle F B G=90^{\circ},
\end{aligned}
$$
$\therefore \triangle A B C \sim \triangle F B G$,
$$
\therefore \angle F G B=\angle A C B \text {, }
$$

$\because \angle G F B+\angle F G B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle G F B+\angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore A C \perp G E$,
$\therefore$ 四边形 $A G C E$ 是菱形.
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