设函数 $f(x)=x^2+b \ln (x+a)$ ，其中 $b \neq 0$ ．
（1）当 $b=1$ 时，$f(x)$ 在 $x=-2$ 时取得极值，求 $a$ ；
（2）当 $a=1$ 时，若 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围；
（3）证明对任意的正整数 $n$ ，不等式 $\ln \left(\frac{1}{n}+1\right)>\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}$ 都成立．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$