【ID】2323 【题型】解答题 【类型】模拟考试 【来源】邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
在① $b^2+c^2-a^2=2 \sqrt{3} a c \sin B$; ② $\sin ^2 B+\sin ^2 C-\sin ^2 A=\sqrt{3} \sin B \sin C$ 这两个条 件中任选一个, 补充在下面的问题中并作答.
在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$,
(1)求角 $A$;
(2) 若 $a=8, b+c=10$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
答案:
(1) 选择(1): 因为 $b^2+c^2-a^2=2 \sqrt{3} a c \sin B$,
由余弦定理可得 $2 b c \cos A=2 \sqrt{3} a c \sin B$,
所以结合正弦定理可得 $\sin B \cos A=\sqrt{3} \sin A \sin B$.
因为 $B \in(0, \pi)$, 则 $\sin B > 0$,
所以 $\cos A=\sqrt{3} \sin A$, 即 $\tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
因为 $A \in(0, \pi)$, 所以 $A=\frac{\pi}{6}$;
选择(2): 因为 $\sin ^2 B+\sin ^2 C-\sin ^2 A=\sqrt{3} \sin B \sin C$,
由正弦定理得 $b^2+c^2-a^2=\sqrt{3} b c$,
由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因为 $A \in(0, \pi)$, 所以 $A=\frac{\pi}{6}$;
(2) 由 (1) 知 $A=\frac{\pi}{6}$, 又已知 $a=8, b+c=10$,
由余弦定理得, $a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A=(b+c)^2-(2+\sqrt{3}) b c$,
即 $64=100-(2+\sqrt{3}) b c$, 所以 $b c=\frac{36}{2+\sqrt{3}}$,
所以 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} b c \sin \frac{\pi}{6}=9(2-\sqrt{3})$.

解析:

视频讲解

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