题号:2314    题型:单选题    来源:邯郸市2023届高三年级摸底考试试卷(新高考)
从正方体的 8 个顶点和中心中任选 4 个, 则这 4 个点恰好构成三棱锥的概率为
$A.$ $\frac{41}{63}$ $B.$ $\frac{38}{63}$ $C.$ $\frac{2}{3}$ $D.$ $\frac{5}{7}$
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答案:
D

解析:

从正方体的 8 个顶点和中心中任取 4 个, 有 $n-\mathrm{C}_{\mathrm{s}}^{-1}-126$ 个结果,
(1) 从正方体的 8 个顶点中取 4 个点, 共有 $\mathrm{C}_8^1=70$ 个结果, 在同一个平面的有 $m=6+6=12$ 个, 构成三棱 锥有 $70-12=58$ 个; (2)从正方体的 8 个顶点中取 3 个与中心构成三棱锥有 $6 \mathrm{C}_4^3+8=32$ 个, 故从正方体的 8 个 顶点和中心中任选 4 个, 则这 4 个点恰好构成三棱锥的个数为 $58+32=90$, 故所求概率 $P=\frac{90}{126}=\frac{5}{7}$.
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