题号:2214    题型:解答题    来源:2018年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=-1\}=\frac{1}{2}, Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布. 令 $Z=X Y$.
(I) 求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$;
(II) 求 $Z$ 的概率分布.
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答案:
解 (I)由题设可得
$$
E X=(-1) \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{1}{2}=0 \text {, }
$$
$$
E(X Z)=E\left(X^2 Y\right)=E X^2 \cdot E Y=\lambda
$$
所以 $\operatorname{Cov}(X, Z)=E(X Z)-E X \cdot E Z=\lambda$.
(II) $Z$ 的所有可能取值为全体整数值, 且
$P\{Z=0\}=P\{Y=0\}=\mathrm{e}^{-\lambda}$
对于 $n=\pm 1$, 土2, $\cdots$, 有
$P\{Z=n\}=P\{X Y=n\}$

\begin{aligned}
&=P\left\{X=\frac{n}{|n|}, Y=|n|\right\} \\
&=P\left\{X=\frac{n}{|n|}\right\} P\{Y=|n|\} \\
&=\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^{|n|}}{2 \cdot|n| !}
\end{aligned}
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