题号:2212    题型:解答题    来源:2018年全国硕士研究生招生考试试题
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.
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答案:
解 (I) $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 当且仅当 $\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2+x_3=0 \\ x_2+x_3=0 \\ x_1+a x_3=0\end{array}\right.$
对方程组的系数矩阵施以初等行变换得
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & a
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & a-2
\end{array}\right)
$$
当 $a \neq 2$ 时, 方程组只有零解, 故 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解为 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 当 $a=2$ 时, 方程组有无穷多解, 通解为 $x=k\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), k$ 为任意常数, 故 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解是 $\boldsymbol{x}=k\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), k$ 为任意常数.

(II) 由 ( I ) 知, 当 $a \neq 2$ 时, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定, $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$. 当 $a=2$ 时,
$$
\begin{aligned}
f\left(x_1, x_2, x_3\right) &=2 x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+6 x_1 x_3 \\
&=2\left(x_1-\frac{1}{2} x_2+\frac{3}{2} x_3\right)^2+\frac{3}{2}\left(x_2+x_3\right)^2,
\end{aligned}
$$
所以 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$.
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