题号:2211    题型:解答题    来源:2018年全国硕士研究生招生考试试题
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1 > 0, x_n \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_n}-1(n=1,2, \cdots)$. 证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
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答案:
解 由于 $x_1 \neq 0$, 所以 $\mathrm{e}^{x_2}=\frac{\mathrm{e}^{x_1}-1}{x_1}$.
根据微分中值定理, 存在 $\xi \in\left(0, x_1\right)$, 使得 $\frac{\mathrm{e}^{x_1}-1}{x_1}=\mathrm{e}^{\varepsilon}$.
所以 $\mathrm{e}^{x_2}=\mathrm{e}^{\xi}$, 故 $0 < x_2 < x_1$.
假设 $0 < x_{n+1} < x_n$, 则
$\mathrm{e}^{x_{n+2}}=\frac{\mathrm{e}^{x_{n+1}}-1}{x_{n+1}}=\mathrm{e}^\eta\left(0 < \eta < x_{n+1}\right)$,
所以 $0 < x_{n+2} < x_{n+1}$.
故 $\left\{x_n\right\}$ 是单调减少的数列, 且有下界, 从而 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$, 得 $a \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^a-1$. 易知 $a=0$ 为其解.
令 $f(x)=x \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+1$, 则 $f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^x$.
当 $x > 0$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加, 所以 $a=0$ 是方程 $a \mathrm{e}^a=\mathrm{e}^a-1$ 在 $[0,+\infty)$ 上的唯一的解, 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$.
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