题号:2205    题型:填空题    来源:2018年全国硕士研究生招生考试试题
设 2 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有两个不同特征值, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的线性无关的特征向量, 且满足 $\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$, 则 $|\boldsymbol{A}|=$
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答案:
-1

解析:

解 设 $\boldsymbol{A}$ 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2$, 对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2$, $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2$.
$$
\boldsymbol{A}^2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)=\boldsymbol{A}\left(\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2\right)=\lambda_1^2 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2^2 \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2 \text {, 则 } \lambda_1=\pm 1, \lambda_2=\pm 1 \text {, }
$$
又因为 $\lambda_1 \neq \lambda_2$, 所以 $|\boldsymbol{A}|=\lambda_1 \lambda_2=-1$.
故应填 $-1$.
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