题号:2198    题型:单选题    来源:2018年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩, $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 表示分块矩阵,则 ( )
$A.$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$. $B.$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A})$. $C.$ $ r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=\max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$ $D.$ $r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$.
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答案:
A

解析:

解 对于 B选项, 若 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $r\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}\end{array}\right)=2 \neq r(\boldsymbol{A})$, 排除 B. 对于 C 选项, 若 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $r\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)=2 \neq \max \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$, 排除 C. 对于 D 选项,若 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $r\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)=2 \neq r\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \quad \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)$, 排除 D. 故应选 A.
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