【ID】2197 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2018年全国硕士研究生招生考试试题
下列矩阵中 , 与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$A.$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. $B.$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. $C.$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. $D.$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
答案:
A

解析:

易知题中矩阵的特征值均为 3 重特征值 1, 若矩阵相似, 则特征值对应的 $\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$,
即 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 秩必然相等, 显然 $\boldsymbol{E}-\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的秩为 2 . 故应选 A.

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