题号:2142    题型:解答题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 有 3 个不同的特征值, 且 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2$.
(I ) 证明 $r(\boldsymbol{A})=2$;
(II) 设 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$, 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 0 次查看 我来讲解
答案:
解 (I) 由 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2$, 知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 故 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$.
又因为 $\boldsymbol{A}$ 有 3 个不同的特征值, 所以 $\boldsymbol{A}$ 至少有 2 个不为零的特征值, 从而 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \geqslant 2$. 故 $r(\boldsymbol{A})=2$.
(II) 由 $\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$, 知 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)=\boldsymbol{0}$, 故 $\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解. 又 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$, 所以 $\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系.
因为 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, 所以 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的一个特解. 故 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)$, 其中 $k$ 为任意常数.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭