题号:2141    题型:解答题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
设薄片型物体 $S$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$ 割下的有限部分, 其上任一点的密度为 $\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 记圆雉面与柱面的交线为 $C$.
(I) 求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程;
(II) 求 $S$ 的质量 $M$.
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答案:
(I)圆锥面与柱面为 $x^2+y^2=2 x$, 故所求投影曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2 x \\ z=0 .\end{array}\right.$ 消去 $z$得 $C$到 $xOy$平面的投影

柱面为 $ x^2+y^2=2 x $ , 故所求投影曲线的方程为 $$\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=2 x, \\
z=0 .
\end{array}\right.$$


(II) 因为 $S$ 的密度为 $\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2}$, 所以 $S$ 的质量为
$$
M=\iint_S 9 \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} S .
$$
又 $S$ 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 x\right\}$, 所以
$M=9 \iint_D \sqrt{2\left(x^2+\overline{\left.y^2\right)}\right.} \sqrt{1+\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$=18 \iint_D \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
$=18 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} r \cdot r \mathrm{~d} r$
$=48 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^3 \theta \mathrm{d} \theta$
$=64$

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