题号:2139    题型:解答题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
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答案:
解 由 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$, 得
$$
\begin{aligned}
&3 x^2+3 y^2 y^{\prime}-3+3 y^{\prime}=0 (1), \\
&6 x+6 y\left(y^{\prime}\right)^2+3 y^2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime \prime}=0 (2) .
\end{aligned}
$$
在(1)式中令 $y^{\prime}=0$ 得 $x=-1, x=1$.
当 $x$ 分别取 $-1$ 和 1 时, 由 $x^3+y^3-3 x+3 y-2=0$ 得 $y(-1)=0, y(1)=1$.
将 $x=-1, y(-1)=0$ 及 $y^{\prime}(-1)=0$ 代人(2)式得 $y^{\prime \prime}(-1)=2$.
因为 $y^{\prime}(-1)=0, y^{\prime \prime}(-1) > 0$, 所以 $y(-1)=0$ 是 $y(x)$ 的极小值.
将 $x=1, y(1)=1$ 及 $y^{\prime}(1)=0$ 代人(2)式得 $y^{\prime \prime}(1)=-1$.
因为 $y^{\prime}(1)=0, y^{\prime \prime}(1) < 0$, 所以 $y(1)=1$ 是 $y(x)$ 的极大值.

解析:

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