题号:2136    题型:填空题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.5 \Phi(x)+0.5 \Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函 数, 则 $E(X)=$
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答案:
2

解析:

解 $X$ 的概率密度
$$
f(x)=F^{\prime}(x)=0.5 \varphi(x)+0.25 \varphi\left(\frac{x-4}{2}\right)
$$
则 $E X=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$
$$
\begin{aligned}
&=0.5 \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi(x) \mathrm{d} x+0.25 \int_{-\infty}^{+\infty} x \varphi\left(\frac{x-4}{2}\right) \mathrm{d} x \\
&=0+0.5 \int_{-\infty}^{+\infty}(2 t+4) \varphi(t) \mathrm{d} t \\
&=0.5\left[2 \int_{-\infty}^{+\infty} t \varphi(t) \mathrm{d} t+4 \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t\right] \\
&=2 .
\end{aligned}
$$
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