题号:2135    题型:填空题    来源:2017年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为线性无关的 3 维列向量组, 则向量组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3$ 的秩 为
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答案:
2

解析:

解 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 因为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 故矩阵 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 可逆, 所以, $r\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3\right)=r(\boldsymbol{A})$, 易知, $r(\boldsymbol{A})=2$. 故应填 2 .

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