【ID】2134 【题型】填空题 【类型】考研真题 【来源】2017年全国硕士研究生招生考试试题
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$
答案:
$\frac{1}{(1+x)^2}$

解析:

解 令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}, x \in(-1,1)$.
则 $\int_0^x S(x) \mathrm{d} x=\int_0^x\left[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}\right] \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \int_0^x n x^{n-1} \mathrm{~d} x$
$$
=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^n=\frac{x}{1+x} .
$$
所以, $S(x)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{\prime}=\frac{1}{(1+x)^2}, x \in(-1,1)$.

视频讲解

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