2017年全国硕士研究生招生考试试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\boldsymbol{n}=(1,2,2)$ 的方向导数为

$ \text{A.}$ 12 $ \text{B.}$ 6 $ \text{C.}$ 4 $ \text{D.}$ 2

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答案：

解析：

解向量 $\boldsymbol{n}=(1,2,2)$ 的方向余弦为:
$$
\cos \alpha=\frac{1}{3}, \cos \beta=\frac{2}{3}, \cos \gamma=\frac{2}{3} \text {. }
$$
函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处的三个偏导数为:
$$
f_x^{\prime}(1,2,0)=4, f_y^{\prime}(1,2,0)=1, f_z^{\prime}(1,2,0)=0 .
$$
所以函数 $f(x, y, z)=x^2 y+z^2$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $\boldsymbol{n}$ 的方向导数为:
$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{n}}\right|_{(1,2,0)} &=f_x^{\prime}(1,2,0) \cos \alpha+f_y^{\prime}(1,2,0) \cos \beta+f_z^{\prime}(1,2,0) \cos \gamma \\
&=4 \cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{2}{3}+0 \cdot \frac{2}{3}=2
\end{aligned}
$$
故应选 D.

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