题号:2120    题型:解答题    来源:2022年河南省中考数学真题
小红看到一处喷水景观, 喷出的水柱呈抛物线形状, 她对此展开研究: 测得喷水头 $P$ 距地面 $0.7 \mathrm{~m}$, 水柱在距喷水头 $P$ 水平距离 $5 \mathrm{~m}$ 处达到最高, 最高点距地面 $3.2 \mathrm{~m}$; 建立如图所示的平面直角坐 标系, 并设抛物线的表达式为 $y=a(x-h)^2+k$, 其中 $x(m)$ 是水柱距喷水头的水平距离, $y(m)$ 是 水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方, 且距喷水头 $P$ 水平距离 $3 \mathrm{~m}$. 身高 $1.6 \mathrm{~m}$ 的小红在水柱下方䞢动, 当她的 头页恰好接触到水柱时, 求她与爸爸的水平距离.
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答案:
解: (1) 由题意知, 抛物线顶点为 (5, 3.2), 设抛物线的表达式为 $y=a(x-5)^2+3.2$, 将 $(0,0.7)$ 代入得: $0.7=25 a+3.2$,
解得 $a=-\frac{1}{10}$,
$$
\therefore y=-\frac{1}{10}(x-5)^2+3.2=-\frac{1}{10} x^2+x+\frac{7}{10} \text {, }
$$
答: 抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{10} x^2+x+\frac{7}{10}$ ;
(2) 当 $y=1.6$ 时, $-\frac{1}{10} x^2+x+\frac{7}{10}=1.6$,
解得 $x=1$ 或 $x=9$,
$\therefore$ 她与爸爸的水平距离为 $3-1=2(m)$ 或 $9-3=6(m)$,
答: 当她的头顶恰好接觗到水柱时, 与爸爸的水平距离是 $2 m$ 或 $6 m$.
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