题号:2077    题型:解答题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $T=\max \left\{X_1, X_2, X_3\right\}$.
(I) 求 $T$ 的概率密度;
(II ) 确定 $a$,使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.
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答案:
解 (I) 总体 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{x^3}{\theta^3}, & 0 \leqslant x < \theta, \\ 1, & x \geqslant \theta .\end{cases}
$$
从而 $T$ 的分布函数为
$$
F_T(z)=[F(z)]^3= \begin{cases}0, & z < 0, \\ \frac{z^9}{\theta^9}, & 0 \leqslant z < \theta, \\ 1, & z \geqslant \theta .\end{cases}
$$
所以 $T$ 的概率密度为
$$
f_T(z)= \begin{cases}\frac{9 z^8}{\theta^9}, & 0 < z < \theta, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(II) $E(T)=\int_{-\infty}^{+\infty} z f_T(z) \mathrm{d} z=\int_0^\theta \frac{9 z^9}{\theta^9} \mathrm{~d} z=\frac{9}{10} \theta$, 从而 $E(a T)=\frac{9}{10} a \theta$.
令 $E(a T)=\theta$, 得 $a=\frac{10}{9}$.
所以当 $a=\frac{10}{9}$ 时, $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.
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